پیش‌بینی با روش هموارسازی نمایی (نمو هموار)

بخش اول: روش هموارسازی نمایی (نمو هموار)

فرض کنید که مقدار فروش ویکی‌تولید در مهر ماه ۲۰۰ عدد بوده است، فروش آبان چقدر می‌شود؟ قاعدتاً اگر هیچ اتفاقی رخ ندهد، در آبان هم ۲۰۰ واحد فروش خواهیم داشت اما اتفاقاتی مثل افزایش تعداد کاربران، تعطیلات نوروز، تحولات اجتماعی، برنامه‌های تبلیغاتی ویکی‌تولید و … باعث می‌شود که این مقدار در آبان ماه تغییر کند و مثلاً به ۲۴۰ عدد برسد؛ پس اصولاً مقدار هر دوره در شرایط کاملاً با ثبات، با دوره‌ی قبلی برابر است اما چون تغییراتی رخ می‌دهد (که شاید آن‌ها را بدانیم یا ندانیم) مقدارش تغییر می‌کند.

در روش هموارسازی نمایی، برای پیش‌بینی (محاسبه‌ی F_t+1) از مقدار واقعی دوره‌ی قبلی (A_t) و مقدار پیش‌بینی شده برای دوره‌ی قبلی (F_t)، میانگین وزن‌دار می‌گیریم که رابطه‌ی ریاضی آن به شکل زیر است:

رابطه‌ی بالا را می‌توانیم به شکل زیر هم بنویسیم:

فعلاً برای بررسی توضیحات روی رابطه‌ی اول تمرکز کنید.

مقدار t نشان دهنده‌ی دوره‌ی فعلی و مقدار t+1 نشان دهنده‌ی دوره‌ی بعدی است، حرف F مقدار پیش‌بینی شده را نشان می‌دهد و مقدار آلفا بین ۰ تا ۱ است.

قصد داریم مقدار F را برای دوره‌ی t+1 پیش‌بینی کنیم (F_t+1) و همان‌طور که گفتیم مقدار آن برابر است با مجموعِ درصدی از مقدار واقعی دوره‌ی قبلی (A_t) و درصدی از مقدار پیش‌بینی شده دوره‌ی قبلی (F_t) و اگر آلفا برابر ۰٫۵ باشد، نتیجه‌ی پیش‌بینی برای دوره‌ی t+1 همان میانگین ساده‌ی دو مقدار A_t و F_t خواهد بود.

در تصویر زیر، شرایط ویژه‌ای که به واسطه‌ی بعضی مقادیر آلفا ایجاد می‌شود را مرور کردیم:

کاملاً مشخص است که در روش هموارسازی از داده‌های آخرین دوره استفاده می‌کنیم اما تکلیف دوره‌های قبلی چه می‌شود؟ اگر دقت کنید مقدار F_t خودش بر مبنای A_t-1 و F_t-1 محاسبه می‌شود و به همین ترتیب F_t-1 بر مبنای A_t-2 و F_t-2، پس تمام داده‌های قبلی اثرگذار هستند اما در هر مرحله به واسطه‌ی ضریب آلفا (که مقدارش بین ۰ تا ۱ است) از تأثیرشان کم می‌شود، مگر این‌که آلفا را صفر در نظر بگیریم.

متخصصان علم آمار گاهی مقدار آلفا را به‌صورت تجربی انتخاب می‌کنند اما استفاده از آزمون و خطا هم رایج است. برای این‌کار داده‌های قبلی (که مقدارشان معلوم است) با مقادیر مختلف آلفا پیش‌بینی می‌شوند تا مشخص شود کدام مقدار آلفا به نتایج دقیق‌تری رسیده است و سپس از همان مقدار برای پیش‌بینی دوره‌ها‌ی بعدی استفاده می‌شود.

مثال. به جدول زیر توجه کنید:

برای ماه اول امکان پیش‌بینی وجود ندارد چون اطلاعات ماه قبل (ماه ۰) موجود نیست.

برای ماه دوم، از آن‌جایی که مقدار F_t (پیش‌بینی برای ماه اول) وجود ندارد، همان عدد ۱۷۳ را قرار می‌دهیم.

از ماه سوم می‌توانیم میانگینِ وزن‌دار هر دوره را بر اساس تعداد فروش واقعی و پیش‌بینی ماه قبلی محاسبه کنیم که رابطه‌ی آن را بالاتر نوشتیم.

در این مثال از آلفای ۰٫۲ استفاده کردیم، پس برای ماه سوم داریم:

مطابق این رابطه، مقدار F₃ (پیش‌بینی برای ماه سوم) برابر است با ۱۵۸ و به همین ترتیب می‌توانیم مقادیر مربوط به ماه‌های دیگر را محاسبه کنیم.

در قدم بعدی همین محاسبات را با آلفای ۰٫۸ انجام می‌دهیم تا ببینیم کدام مقدار آلفا (۰٫۲ یا ۰٫۸) دقت بالاتری دارد.

نکته: نرم‌افزارهای آماری خودشان این محاسبات را انجام می‌دهند تا بهترین مقدار n را پیشنهاد کنند.

محاسبات مربوط به آلفای ۰٫۲ و ۰٫۸ و خطای هر کدام را در جدول زیر مشاهده می‌کنید:

همان‌طور که می‌بینید، آلفا با مقدار ۰٫۸ خطای بسیار کمتری دارد، پس برای پیش‌بینی ماه سیزدهم از آلفای ۰٫۸ استفاده می‌کنیم، ضمناً نتایج پیش‌بینی ماه‌های بعدی در جدول بالا نیست اما دقیقاً مثل دوره‌های قبلی محاسبه می‌شود.

بخش‌ دوم: روش هموارسازی نمایی با تصحیح روند

همان‌طور که در درس روابط علت و معلول گفتیم گاهی داده‌ها از یک روند افزایش یا کاهش پیروی می‌کنند.

روش‌هایی که تا این لحظه یاد گرفتید قابلیت جبران این روندها را ندارند، اما در این بخش با روشی برای این‌کار آشنا می‌شوید.

البته قرار نیست کار سختی انجام دهیم، بلکه همان اقدامات بخش اول را انجام می‌دهیم اما به نتایج پیش‌بینی مقادیری را اضافه یا کم می‌کنیم تا روند افزایشی یا کاهشی داده‌ها در نظر گرفته شود. شبیه رابطه‌ی زیر:

جمله‌ی (F_t+1) همانی است که در بخش اول پیش‌بینی کردیم:

اما جمله‌ی دوم (T_t+1) که الگوی افزایش یا کاهش روند را پیش‌بینی می‌کند برابر است با:

اگر دقت کنید برای پیش‌بینی میزان رشد یا کاهش (تحت تأثیر روند) از همان روش هموارسازی نمایی ساده استفاده می‌کنیم، فقط به ‌جای آلفا از بتا استفاده شده است.

در ادامه مثال قبلی را با تصحیح روند حل می‌کنیم. در بخش قبلی دیدیم که آلفای ۰٫۸ خطای کمتری داشت، پس آلفا را ۰٫۸ و بتا را ۰٫۵ در نظر می‌گیریم، البته می‌توانیم برای انتخاب بتا از آزمون و خطا استفاده کنیم (شبیه کاری که در مثال اول انجام شد) اما به علت محدودیت فضای جدول از این‌کار صرف نظر کردیم.

داده‌های ستون اول (پیش‌بینی با آلفای ۰٫۸) با روش نمو هموار ساده محاسبه شده است که در در بخش اول حل کردیم.

برای پیش‌بینی روند، در مورد ماه اول به داده‌های قبلی دسترسی نداریم و آن را رها کردیم و برای ماه دوم یک مقدار فرضی نوشتیم. (فرض کردیم افزایش یا کاهش نداریم و صفر گذاشتیم)

وقتی تعداد داده‌ها زیاد است، می‌توانیم این مقدار فرضی را صفر در نظر بگیریم و خودش به تدریج، با طی دوره‌های بعدی، دقیق و دقیق‌تر می‌شود.  اما اگر تعداد داده‌ها کم باشد می‌توانیم به مقدار افزایش و کاهش دوره‌ها (روند تقریبی) دقت کنیم و بر اساس آن‌ها مقداری را بنویسیم تا سریع‌تر به دقت مناسب برسد.

نهایتاً مقدار پیش‌بینی شده‌ی نهایی (با تصحیح روند) از مجموع نتایج نمو هموار ساده و روندهای پیش‌بینی شده محاسبه شده است، مثلاً پیش‌بینی اولیه برای ماه دهم ۲۶۱٫۸۰ فروش بوده است و حدس زدیم که الگوی Trend به‌اندازه‌ی ۲۹٫۳۴+ روی آن اثر بگذارد، پس پیش‌بینی نهایی برابر شد با ۲۹۱٫۱۴ واحد فروش.

خطای پیش‌بینی هر دو روش را در جدول وارد کردیم تا بتوانید آن‌ها را به سادگی مقایسه کنید.