حالت اول: یک علت و یک معلول

# روش کمترین مجذورات یا رگرسیون خطی یک متغیره

در این حالت فرض می‌کنیم که فقط یک علت (متغیر مستقل) روی معلول (متغیر وابسته) اثر می‌گذارد و با روش کمترین مجذورات، رابطه‌ی ریاضی بین آن‌ها را پیدا می‌کنیم. در ادامه از یک مثال استفاده کردیم و فرض‌مان این است که قیمت محصول تنها عامل تأثیرگذار روی میزان فروش باشد؛ فرض کنید به اطلاعات زیر دسترسی داریم که میزان فروش همان پارامتر وابسته (مثلاً y) و قیمت فروش همان پارامتر مستقل (مثلاً x) است.

زمانی پیش‌بینی خطی دو پارامتر دقیق است که رابطه‌ی آن‌ها خطی باشد، پس نمودار مربوط به این جدول را ترسیم می‌کنیم تا خطی بودن آن را بررسی کنیم:

همان‌طور که می‌بینید رفتار x و y تا حد بسیار زیادی خطی است و می‌توانیم با اطمینان خاطر از روش کمترین مجذورات استفاده کنیم.

روش دستی

می‌خواهیم با روش کمترین مجذورات، رابطه‌ی قیمت و میزان فروش را پیش‌بینی کنیم که با فرض خطی بودن به شکل F=a+bX خواهد بود و باید مقادیر a و b را پیدا کنیم تا رابطه‌ی میان آن‌ها پیدا شود، ضمناً F مقدار فروش پیش‌بینی شده است و از Y استفاده نکردیم تا با مقادیر واقعی اشتباه نشود، مثلاً می‌دانیم که وقتی  X=4000 مقدار فروش یا Y برابر با ۸۰۰ است اما شاید فروش پیش‌بینی شده (F) برابر با عدد دیگری مثل ۷۹۹ باشد؛ پس در ادامه می‌خواهیم مقادیر a و b را پیدا کنیم تا مقدار فروش برای مقادیر مختلف X پیش‌بینی شود و مقدارشان بر اساس روش مجذورات مطابق رابطه‌ی زیر است:

برای استفاده از روابط بالا، جدول را به‌صورت زیر تکمیل می‌کنیم:

با جاگذاری مقادیر در روابط a و b داریم:

پس میزان فروش پیش‌بینی شده (F) به ازای قیمت فروش (X) برابر است با:

اگر در معادله‌ی پیش‌بینی شده، مقدار X را ۴۰۰۰ قرار دهیم به حدود ۷۱۱ فروش می‌رسیم که با مقدار اصلی (۸۰۰) فاصله دارد و اگر قیمت محصول را ۵۰۰ تومان انتخاب کنیم (x=500) انتظار می‌رود که  ۳۶۰۷ واحد فروش داشته باشیم.

ضریب تعیین و کاربرد آن در پیش‌بینی

برای ارزیابی رابطه‌ی پیش‌بینی شده می‌توانیم از ضریب همبستگی (r) و ضریب تعیین (مجذور r) استفاده کنیم که حاکی از رابطه‌ی علت و معلولی نیستند اما ارتباط ظاهری پارامترها را می‌سنجند و می‌توانند مبنای قضاوت باشند. در حالت خطی می‌توانیم ضریب همبستگی را از رابطه‌ی زیر حساب کنیم اما در ادامه‌ی روش‌ها ترجیح‌مان این است که این مقادیر را توسط اکسل استخراج کنیم:

ضریب همبستگی (r) همیشه بین -۱ و ۱ است و هر چقدر به صفر نزدیک‌تر باشد، یعنی رفتار پارامترها هم‌خوانی کمتری داشته است؛ همچنین مقدار مثبت r نشان‌دهنده‌ی رابطه‌ی مستقیم پارامترها و مقدار منفی نشان‌دهنده رابطه‌ی معکوس میان آن‌هاست.

با مجذور شدن مقدار r به شاخص دیگری به‌نام ضریب تعیین می‌رسیم که نشان می‌دهد رفتار پارامتر وابسته چقدر با رفتار پارامتر مستقل هم‌خوانی داشته است، مثلاً مقدار ۰٫۸ یعنی ظاهراً پارامتر وابسته تا ۸۰ درصد از تغییرات پارامتر مستقل تبعیت کرده و احتمالاً تأثیر پارامترهای دیگر معادل ۲۰ درصد بوده است اما تأکید می‌کنیم که این نتایج از روی ظاهر اعداد است و شاید عملاً چنین ارتباط عمیقی بین پارامترها وجود نداشته باشد.

معمولاً زمانی که مقدار ضریب تعیین از ۰٫۶ یا ۰٫۵ کمتر می‌شود به این معناست که رابطه‌ی پیش‌بینی شده چندان گویای واقعیت نیست و باید پیش‌بینی را با روش دیگر یا با پارامترهای دیگر تکرار کنیم؛ در درس خطاهای پیش‌بینی به موارد کامل‌تری در این خصوص اشاره خواهیم کرد.

استفاده از روش حدأقل مجذورات برای سری‌های زمانی

اگر درس قبل را با دقت خوانده باشید گفتیم که سری‌های زمانی به داده‌هایی گفته می‌شود که بر اساس زمان فهرست شده‌اند، مثلاً در جدولی که بالاتر بررسی کردیم از سری‌های زمانی استفاده نشده بود و صرفاً از داده‌های متناظر قیمت و فروش استفاده کردیم، اما جدول زیر یک سری زمانی است:

در درس‌های بعدی با تکنیک‌های پیش‌بینی سری‌های زمانی آشنا می‌شوید اما روش کمترین مجذورات هم می‌تواند برای تحلیل آن‌ها به کار گرفته شود و برای این‌کار ابتدا دوره‌های زمانی را شماره‌گذاری می‌کنیم:

یعنی به‌جای مهر ماه از شماره‌ی دوره‌ی زمانی استفاده کردیم، حالا فرض می‌کنیم که شماره‌ی دوره‌های زمانی (X) متغیر مستقل است و بر این اساس به‌ازای X=6 داریم Y=10 و می‌توانیم با تعیین رابطه‌ی بین X و Y، مقدار فروش آینده را برای دوره‌های زمانی مختلف (مثلاً X=16) پیش‌بینی کنیم.

حالت دوم. استفاده از معادله‌ی خطی با دو متغیر مستقل

# رگرسیون خطی دو متغیره

در تکمیل حالت اول، فرض می‌کنیم که پارامتر دیگری هم روی متغیر وابسته اثر می‌گذارد، یعنی دو علت داریم و یک معلول.

البته از نظر عملیات ریاضی فرقی نمی‌کند که چند پارامتر مستقل داشته باشیم و همه‌ی آن‌ها با اصول یکسانی حل می‌شوند اما چون جنبه‌ی کاربردی پیش‌بینی را بررسی می‌کنیم (نه اثبات روابط ریاضی) آن‌ها را به سه حالت یک متغیره، دو متغیره و چند متغیره تقسیم کردیم تا دو حالت اول را به‌صورت دستی و حالت سوم را با کمک اکسل محاسبه کنیم، چون حجم محاسبات آن زیاد است.

برای حالت دوم از اطلاعات جدول زیر استفاده می‌کنیم که تکلیف قیمت محصول روشن است، اما هزینه‌‌های معرفی کالا می‌تواند مواردی مثل ارسال پیامک، بیلبورد، ارسال کاتالوگ، ارسال ویزیتور و … باشد.

در این حالت، معادله‌ی فروش (F) پیش‌بینی شده شبیه زیر است و باید مقادیر a ، b1 و b2 را محاسبه کنیم.

در این حالت اگر نمودار را رسم کنیم به شکلی شبیه زیر می‌رسیم، در حقیقت به جز بعدهای x1 و y  ، یک بعد دیگر به‌نام x2 به نمودار اضافه می‌شود. (یادگیری این نمودار تأثیری در حل معادله ندارد و می‌توانید از آن عبور کنید)

هر یک از ضرایب a و b1 و b2 با روابط زیر محاسبه می‌شوند:

جدول را برای استفاده از این روابط تکمیل می‌کنیم:

داده‌ها ۷ ردیف هستند (n=7) و با جاگذاری مقادیر در روابط a و b و c به این نتایج می‌رسیم:

یکی از داده‌های جدول اصلی، X1=2000 و X2=1.5 است که به ازای آن‌ها Y=2400 واحد از محصول فروخته شده است.

اگر همین اطلاعات را در رابطه‌ی پیش‌بینی شده قرار دهیم با عدد ۲۵۸۴ می‌رسیم که کمتر از ۲۰۰ واحد با فروش واقعی فاصله دارد.

یا اگر فرض کنیم که قیمت محصول ۱۰۰۰۰ تومان (X1=10000) و هزینه‌های بازاریابی بیست میلیون تومان (X2=20) مقدار پیش‌بینی شده‌ی فروش معادل ۳۴۸۶ واحد می‌شود.