روش رگرسیون خطی تک متغیره (کم‌ترین مجذورات)

روش «رگرسیون خطی تک متغیره» یا «کم‌ترین مجذورات» فقط ارتباط پارامتر وابسته با یک پارامتر مستقل را به شکل خطی توصیف می‌‌کند. بنابراین این روش زمانی مفید است که بخواهیم ارتباط تقاضا با عاملی مثل قیمت را بیابیم و از سایر عوامل صرفنظر کنیم.

در ادامه چگونگی استفاده از رگرسیون خطی تک متغیره را با کمک مثال توضیح خواهیم داد. نمودار زیر ارتباط قیمت یک محصول با مقدار فروش آن را نشان می‌دهد. هدف این است که با اطلاعات این نمودار، رابطه ریاضی میان مقدار فروش و قیمت محصول را شناسایی کنیم.

گفتیم روش رگرسیون خطی، ارتباط میان دو پارامتر را به شکل رابطه خطی توصیف می‌کند. آیا یک رابطه خطی می‌تواند توصیف خوبی از نمودار بالا و تغییرات آن در آینده باشد؟ در نمودار بالا، تغییرات فروش نسبت به زمان به خط صاف نزدیک است. برای همین به نظر می‌رسد که فرض خطی بودن رابطه فروش با قیمت، چندان دور از واقعیت نیست؛ برای همین استفاده از  روش رگرسیون خطی می‌تواند توجیه‌پذیر باشد.

مطابق نمودار، جدول زیر را تشکیل می‌دهیم تا به اطلاعات عددی مربوط به میزان فروش و قیمت محصول دسترسی داشته باشیم.

برای استفاده از رگرسیون خطی، باید رابطه «فروش» و «قیمت» را خطی فرض کنیم. پس شکل کلی رابطه F=a+bX خواهد بود. F بیانگر مقدار فروش در آینده و X بیانگر قیمت محصول است. F و X متغیر هستند و می‌توانیم مقادیر مختلفی را به جای آن‌ها قرار دهیم، اما a و b دو عدد ثابت هستند که باید آن‌ها را با روابط زیر محاسبه کنیم:

برای استفاده از روابط بالا، جدول را به‌صورت زیر تکمیل می‌کنیم.

با جاگذاری مقادیر در روابط بالا، a و b به دست می‌آید.

گفتیم رابطه مقدار فروش پیش‌بینی شده (F) با قیمت فروش (X) از رابطه F=a+bX تبعیت می‌کند، بنابراین با جاگذاری a و b داریم:

برای ارزیابی رابطه‌ای که به دست آورده‌ایم می‌توانیم از «ضریب همبستگی» و «ضریب تعیین» استفاده کنیم.

ضریب همبستگی (r) با رابطه زیر به دست می‌آید. مقدار آن بین -۱ و ۱ است و هر چه به صفر نزدیک‌تر باشد، یعنی رفتار پارامترها هم‌خوانی کمتری با یکدیگر دارد. مثبت بودن مقدار r بیانگر رابطه‌ی مستقیم بین پارامترها و مقدار منفی نشانه رابطه‌ی معکوس آن‌ها است.

ضریب تعیین را می‌توانیم با مجذور کردن ضریب همبستگی (یعنی به توان دو رساندن آن) محاسبه کنیم. این ضریب نشان می‌دهد که رفتار پارامتر وابسته تا چه اندازه با رفتار پارامتر مستقل هم‌خوانی دارد. مثلاً اگر مقدار آن ۰.۸ باشد، یعنی پارامتر وابسته ۸۰٪ با تغییرات رفتار پارامتر مستقل هم‌خوانی دارد و ۲۰٪ عدم هم‌خوانی از سایر عوامل نشأت گرفته است. اگر مقدار ضریب تعیین کم باشد، مثلاً کم‌تر از ۰.۵ باشد، بهتر است پیش‌بینی را بر اساس پارامتری دیگر انجام دهیم. همچنین می‌توانیم جای رگرسیون تک‌متغیره، از رگرسیون چند متغیره استفاده کنیم و سایر عوامل را نیز در نظر بگیریم؛ با این کار ضریب تعیین افزایش می‌یابد و به نتایج مطمئن‌تری می‌رسیم.

استفاده از رگرسیون خطی یک متغیره در اکسل

برای استفاده از رگرسیون خطی یک متغیره در اکسل، مقادیر دو ستون X و Y را ثبت می‌کنیم.

از منوی Insert و از بخش Charts روی Scatter  کلیک می‌کنیم.

نشان ماوس را روی جعبه‌ی سفیدی که باز شده می‌بریم و Select Data را انتخاب می‌کنیم.

در پنجره‌ی باز شده، اگر در جعبه‌های چپ و راست مقداری وجود دارد، با دکمه‌ی Remove پاک می‌کنیم، سپس روی Add کلیک می‌کنیم.

در پنجره‌ جدید، عنوان نمودار را در فیلد اول می‌نویسیم. در فیلد دوم مقادیر عددی ستون X و در فیلد سوم مقادیر Y را انتخاب می‌کنیم.

مثلاً برای فیلد دوم، روی دکمه‌ی کوچک سمت راست کلیک می‌کنیم و در ستون X، مقادیر ۴۰۰۰ تا ۱۰۰۰ را انتخاب می‌کنیم:

بعد از انتخاب مقادیر مربوط به ستون‌های X و Y، داده‌ها به‌صورت نقطه‌ای نمایش داده می‌شوند. این نقاط همان مقادیر جدول هستند و چیز جدیدی را نمایش نمی‌دهند.

روی نمودار کلیک می‌کنیم و از Design، گزینه Add Chart Element را انتخاب کرده، منوی Trendline را باز می‌کنیم.

اگر روی Linear کلیک کنیم، پیش‌بینی بر اساس تابع خطی انجام می‌شود. اگر Exponential را انتخاب کنیم، پیش‌بینی بر اساس تابع نمایی انجام می‌شود. در تصویر زیر گزینه Linear را انتخاب کرده‌ایم.

از منوی Trendlines گزینه‌ی Exponential را انتخاب می‌کنیم تا نمودار نمایی هم ببینیم.

به جز نمودار، تمایل داریم به رابطه‌های پیش‌بینی شده برای فروش و قیمت محصول دسترسی داشته باشیم. پس روی یکی از خطوط پیش‌بینی شده کلیک راست کرده و گزینه‌ی Format Trendlines را انتخاب می‌کنیم.

این کار را برای هر دو نمودار خطی و نمایی انجام می‌دهیم تا روابط مربوط به آن‌ها ثبت شود. همچنین در زیر روابط ریاضی، ضریب تعیین هم نوشته می‌شود. همانطور که در بخش قبل اشاره کردیم، این ضریب بیانگر میزان هم‌خوانی رفتار پارامترها است.

آیا می‌توانیم برای داده‌های زمانی از رگرسیون استفاده کنیم؟

روش‌های کمی پیش‌بینی به دو دسته زمانی و علی تقسیم می‌شوند. روش‌های زمانی برای پیش‌بینی داده‌هایی هستند که بر اساس زمان مرتب شده‌اند. اما روش‌های علی برای توصیف رابطه رباضی میان تقاضا و عوامل دیگر هستند. روش‌های علی مثل رگرسیون می‌توانند برای سری‌های زمانی هم استفاده شوند. این روش‌ها، رابطه تقاضا با عوامل دیگر را شناسایی می‌کنند و «زمان» می‌تواند یکی از این عوامل باشد. جدول زیر فروش یک محصول طی دوازده ماه را نشان می‌دهد و یک سری زمانی است. فرض کنید می‌خواهیم از رگرسیون خطی برای پیش‌بینی فروش آینده استفاده کنیم.

در این مثال، مقدار فروش یا Y پارامتر وابسته و زمان پارامتر مستقل است. برای این که بتوانیم دوره‌های زمانی را به عدد تبدیل کنیم و رابطه‌شان با تقاضا را بیابیم، دوره‌ها را شماره‌گذاری می‌کنیم. این شماره‌ها مقادیر پارامتر X هستند. با کمک رگرسیون، رابطه ریاضی بین Y و X را پیدا می‌کنیم‌. سپس می‌توانیم در رابطه‌ای که به دست می‌آید، مقادیر مختلف X را جاگذاری کرده و فروش دوره‌های آینده را پیش‌بینی کنیم.